秩和檢驗(yàn)

　　用秩號(hào)代替原始數(shù)據(jù)后，所得某些秩號(hào)之和，稱為秩和，用秩和進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)即為秩和檢驗(yàn)。其檢驗(yàn)假設(shè)在兩組比較（成對(duì)或不成對(duì))時(shí)，H₀：F（X₁)=F（X₂)，即兩總體的分布函數(shù)相等，備擇假設(shè)H₁：F（X₁)≠F（X₂)。本法由于部份地考慮了數(shù)據(jù)的大小，故檢驗(yàn)效力較符號(hào)檢驗(yàn)大大提高。至于其方法、步驟，不論是查表法或計(jì)算法、也都相當(dāng)簡(jiǎn)便，現(xiàn)舉例說(shuō)明如下。

　　一、成對(duì)資料的比較

　　此法由Wilcoxon氏首次提出，故又稱Wilcoxon氏法。

　　處理時(shí)可用查表法或計(jì)算法，今以例10.3分別說(shuō)明如下。

　　查表法步驟：

　　1．排隊(duì)，將差數(shù)按絕對(duì)值從小至大排列并標(biāo)明原來(lái)的正負(fù)號(hào)，見(jiàn)表10.3第（5)欄，排隊(duì)后與原豚鼠號(hào)已無(wú)對(duì)應(yīng)關(guān)系。

　　2．編秩號(hào)，成對(duì)資料編秩號(hào)時(shí)較為復(fù)雜，要注意三點(diǎn)：

　�。�1)按差數(shù)的絕對(duì)值自小至大排秩號(hào)，但排好后秩號(hào)要保持原差數(shù)的正負(fù)號(hào)；

　�。�2)差數(shù)絕對(duì)值相等時(shí)，要以平均秩號(hào)表示，如表10.3中差數(shù)絕對(duì)值為4者共三人，其秩號(hào)依次應(yīng)為2、3、4，現(xiàn)皆取平均秩號(hào)3；

　　（3)差數(shù)為0時(shí)，其秩號(hào)要分為正、負(fù)各半，若有一個(gè)0，因其絕對(duì)值最小，故秩號(hào)為1，分為0.5與-0.5，若有兩個(gè)0，則第二個(gè)0的秩號(hào)為2，分為1與-1等等。

　　3．求秩號(hào)之和即將正、負(fù)秩號(hào)分別相加，本例得正秩號(hào)之和為68，負(fù)秩號(hào)之和為10，正負(fù)秩號(hào)絕對(duì)值之和應(yīng)等于1/2n(n+1)，可用以核對(duì)，如本例68+10=12/1（12+1)=78，證明秩號(hào)計(jì)算正確。

　　4.以較小一個(gè)秩號(hào)之和（R)，查附表12進(jìn)行判斷，該表左側(cè)為對(duì)子數(shù)，表身內(nèi)部是較小秩號(hào)和，與上端縱標(biāo)目之概率0.05,0.01相對(duì)應(yīng)，其判斷標(biāo)準(zhǔn)是

　　R>R_0.05時(shí)P>0.05

　　R_0.05≥R>R_0.01時(shí)0.05≥P>0.01

　　P≤R_0.01時(shí)　P≤0.01

　　例10.3　請(qǐng)以表10.1資料用秩和檢驗(yàn)處理之。

表10.3　豚鼠給藥前后灌流滴數(shù)及其秩號(hào)

　　68 　R=10

　　將表中10.1中用藥前后的數(shù)據(jù)求出差數(shù)，并按差數(shù)絕對(duì)值排隊(duì)，結(jié)果見(jiàn)表10.3第（5)欄。再編秩號(hào)，為計(jì)算方便，正、負(fù)秩號(hào)分列兩欄，見(jiàn)表10.3第（6)、（7)欄。

　　上例，n=12,∣R∣=10，查附表12得

　　R_0.05=14R_0.01=7

　　今R_0.05>R>R_0.01，故0.05>P>0.01，在概率0.05水平上拒絕H₀，接受H₁，即用藥前后的相差是顯著的，給藥后每分鐘灌流滴數(shù)比用藥前增多了。

　　附表12中只列有n≤25時(shí)的臨界值。當(dāng)n值較大時(shí)亦可采用計(jì)算法。

　　計(jì)算法步驟：

　　在計(jì)算法時(shí)，對(duì)差數(shù)的排隊(duì)，編秩號(hào)及求秩號(hào)之和同查表法，不同的是求得秩號(hào)之和以后的算，所用公式是：

u_0.05=1.96u_0.01=2.58　(10.5)

　　式中n為原始資料中數(shù)據(jù)的對(duì)子數(shù)，R為正秩號(hào)之和或負(fù)秩號(hào)之和，為計(jì)算方便，通常取絕對(duì)值較小的秩號(hào)之和為r 。

　　本例，n=12，R=-10，代入得：

　　U_0.050.01，故0.05>P>0.01，在α=0.05水準(zhǔn)上拒絕H₀，接受H₁，結(jié)論與查表法相同。

　　據(jù)研究，當(dāng)n大于10時(shí)，上式算得的u近似正態(tài)分布，故計(jì)算法只用于n值較大時(shí)。

　　因本例資料接近正態(tài)分布，故曾用t檢驗(yàn)的個(gè)別比較方法處理過(guò)，結(jié)果是：t=2.653　0.05>P>0.01，與秩和檢驗(yàn)結(jié)論相同，但與符號(hào)檢驗(yàn)結(jié)論不同（^χ2=2.083,P>0.05)，說(shuō)明符號(hào)檢驗(yàn)的檢驗(yàn)效率比秩和與t檢驗(yàn)都要低，比較粗糙，而秩和檢驗(yàn)的效率與t檢驗(yàn)較接近。

　　二、兩組資料的比較

　　此法又稱為wilcoxon氏兩樣本法。

　　處理時(shí)也可用查表法或計(jì)算法，今以例10.4分別說(shuō)明之。

　　查表法步驟：

　　1．各自排隊(duì)，統(tǒng)一編秩號(hào)，即將兩組數(shù)據(jù)分別從小到大排列，但編秩號(hào)時(shí)要兩組統(tǒng)一進(jìn)行，凡分屬于兩組的相等數(shù)據(jù)用平均秩號(hào)，如本例0.042共三個(gè)，取平均序號(hào)皆為8。

　　2．令較小樣本秩號(hào)之和為r ，例數(shù)為n_１。

　　3．計(jì)算R＇，公式為：

　　R＇=n₁(n₁+n₂+1)-r 　(10.6)

　　R＇是同一個(gè)樣本資料，當(dāng)秩號(hào)倒排（即由大至小)時(shí)較小樣本秩號(hào)之和。

　　4．以R和R＇兩秩號(hào)之和中較小者與附表13中R的臨界值比較，以作出判斷，其標(biāo)準(zhǔn)仍是：

　　R>R_0.05時(shí) 　P>0.05

　　R_0.05≥R>R_0.01時(shí) 　0.05≥P>0.01

　　P≤R_0.01時(shí)　P≤0.01

　　例10.4　請(qǐng)以表10.2資料用本法處理之。

表10.4　九名健康人與八名鉛作業(yè)工人的尿鉛值（mg/L)

　　先將本表10.2中兩組數(shù)據(jù)各自排隊(duì)并統(tǒng)一編秩號(hào)，結(jié)果見(jiàn)表10.4。

　　較小樣本為鉛作業(yè)工人組，n₁=8，R=99，代入式（10.6)

　　R＇=8（8+9+1)-99=45

　　R與R＇兩者中以R＇較小，故以P＇值與附表13數(shù)值比較，得R_0.05=51，R_0.01=45；今R＇=R_0.01，故P=0.01，在α=0.05水平上拒絕H₀，接受H₁，差別顯著，故鉛作業(yè)工人尿鉛值比健康人高。

　　計(jì)算法步驟：

　　兩組資料比較時(shí)，也可用計(jì)算法。用計(jì)算法時(shí)，對(duì)兩組數(shù)據(jù)各自排隊(duì)、統(tǒng)一編秩號(hào)同查表法，不同的是求得秩號(hào)之和以后計(jì)算，公式是：

u_0.05=1.96u_0.01=2.58　(10.7)

　　為便于計(jì)算和前后符號(hào)一致，n₁作為較小樣本例數(shù)，R為較小樣本的秩和，n₂則為較大樣本的例數(shù)。

　　本例n₁=8，R=99，n₂=9代入公式得：

　　今∣u∣>u_0.01,故P<0.01，在α=0.01水準(zhǔn)上拒絕H₀接受H₁，其結(jié)論同查表法，

　　據(jù)研究，當(dāng)n₁、n₂都大于8時(shí)，算得的u近于正態(tài)分布，若例數(shù)太少，則以查表法更為精確。

　　本例如用t檢驗(yàn)的團(tuán)體比較處理，則t=3.169,P<0.01，二者結(jié)論一致，但與符號(hào)檢驗(yàn)結(jié)論不同（χ²=2.930,P>0.05)同樣說(shuō)明符號(hào)檢驗(yàn)較粗糙，檢驗(yàn)效率低，而秩和檢驗(yàn)與t檢驗(yàn)的結(jié)論較近。

　　三、兩組等級(jí)資料的比較

　　等級(jí)資料又稱為半計(jì)量資料，當(dāng)兩組等級(jí)資料比較時(shí)，用秩和檢驗(yàn)來(lái)比較其相差是否顯著比用χ²檢驗(yàn)要恰當(dāng)。兩組等級(jí)資料，通常例數(shù)都較多，故一般都用計(jì)算法，其步驟與兩組資料的秩和檢驗(yàn)相似，不同的是要求各等級(jí)的平均秩號(hào)，為此，先要求得各等級(jí)的秩號(hào)范圍。今舉例10.5說(shuō)明之。

　　1．求各等級(jí)的平均秩號(hào)。為此，先要求出各等級(jí)的秩號(hào)范圍，如等級(jí)“-”共18+8=26例，共秩號(hào)范圍自1～26。要注意的是各等級(jí)的秩號(hào)范圍必須緊相聯(lián)接。最后一組秩號(hào)范圍的上限一定等于兩組例數(shù)之和。求得各等級(jí)秩號(hào)范圍后，再求其下限和上限的平均，即可算得平均秩號(hào)，如等級(jí)“一”的平均秩號(hào)為（1+26)/2=13.5。余類推。

　　2．求出R及其n₁，為計(jì)算方便，把例數(shù)少的正常人組的秩號(hào)之和作為R其例數(shù)為n₁得R=308，n₁=20，n₁=32

　　3．代入式（10.7)得u值，即可作結(jié)論。

　　例10.5，今有20名正常人和32名鉛作業(yè)工人尿棕色素定性檢查結(jié)果如下表10.5，試問(wèn)其相差是否顯著？

表10.5　20名正常人和32名鉛作業(yè)工人尿棕色素定性檢查結(jié)果

　　 n₁=20 　　n₂=32 　R=308

　　代入式（10.7)

　　u_0.01=2.58，今u>u_0.01，故P<0.01，在α=0.01水準(zhǔn)上拒絕H₀，接受H₁。兩組相差顯著，鉛作業(yè)工人尿棕色素比正常人為高。

　　四、多組資料的比較

　　多組資料的比較也是從排秩號(hào)開(kāi)始，但不是直接用秩和進(jìn)行檢驗(yàn)，有的書(shū)籍稱之為秩檢驗(yàn)（rank test)，以示與秩和檢驗(yàn)有別，其檢驗(yàn)假設(shè)也較復(fù)雜：在處理完全隨機(jī)設(shè)計(jì)的資料時(shí)，H₀：F（X_１)＝F（X₂)=F（X₃)=……，即比較的各樣本所對(duì)應(yīng)的各總體的分布函數(shù)相等，H₁：各總體的分布函數(shù)不相等或不全相等；在處理隨機(jī)單位組設(shè)計(jì)的資料時(shí)，H₀：P（χ_ij=r)=1/n，即內(nèi)組各秩號(hào)r之概率相等，都是1/n(r=1，2，……，n)而H₁為：P=（χ_ij=r)≠1/n。

　　因不同實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)所得資料的處理也有別，故下面分別舉例說(shuō)明之。

　　（一)完全隨機(jī)設(shè)計(jì)所得資料的比較

　　用的方法是單因素多組秩檢驗(yàn)，稱為Kruskal-Wallis 氏法，或H檢驗(yàn)。其計(jì)算步驟如下。

　　1.各自排隊(duì)，統(tǒng)一編秩號(hào)。即將各組數(shù)據(jù)在本組內(nèi)從小到大排隊(duì)，見(jiàn)表10.6各含量欄，再將各組數(shù)值一起考慮編出統(tǒng)一秩號(hào)，見(jiàn)表10.6各“秩號(hào)”欄，分屬不同組的相同數(shù)值用平均秩號(hào)；
2.求各組秩號(hào)之和R₁以及各組數(shù)n_1：
3.代入下式計(jì)算H值：

　�。�10.8)

　　式中N為各組例數(shù)之和，Ri和ni為各組的秩號(hào)之和以及例數(shù)：

　　4．查表作結(jié)論

　　當(dāng)比較的組數(shù)多于三組，或組數(shù)雖只有三組但每組例數(shù)大于5時(shí)，H值的分布近于自由度等于組數(shù)-1的χ²分布，故可用對(duì)應(yīng)的χ²值作界值。當(dāng)三組比較時(shí)每組例數(shù)均不超過(guò)5時(shí)，H值與χ²值有較大偏離，此時(shí)可查附表14，直接查得H_0.05和H_0.01。

　　例10.6　雄鼠20只隨機(jī)分為四組，第1、2組在皮膚上涂用放射性錫（S_n¹¹³)標(biāo)記的三乙基硫酸錫，涂后將皮膚暴露于空氣中；第3、4組涂藥后用密閉小玻璃管套使皮膚與外界空氣隔開(kāi)，三小時(shí)后殺死，測(cè)肝中放射物，結(jié)果如表10.6，試比較各組含量間有無(wú)顯著相差？

表10.6　白鼠皮膚涂藥后，肝中放射性S_n¹¹³的含量

　　各組資料各自排隊(duì)，統(tǒng)一編秩號(hào)，以及求各組的秩號(hào)之和R_i和例數(shù)n_i見(jiàn)表10.6

　　代入式（10.8)得

　　本例組數(shù)為4（>3)，查χ²值表，ν=4-1=3，得χ²_0.05,3=7.81，χ²_0.01,3=11.34，今H>χ²_0.01,3，故P<0.01，在α=0.01水準(zhǔn)上拒絕H₀，接受H₁，即各組肝中放射性Sn¹¹³含量差別顯著。

　�。ǘ�)隨機(jī)單位組設(shè)計(jì)所得資料的比較

　　用的方法是雙因素多組秩檢驗(yàn)，即Friedman氏法。

　　處理這種資料時(shí)可分成兩步，對(duì)兩個(gè)因素分別進(jìn)行檢驗(yàn)�，F(xiàn)用例10.7說(shuō)明其計(jì)算步驟：

　　先比較四種防護(hù)服對(duì)脈搏的影響

　　1．將穿四種防護(hù)服的每一受試者的脈搏數(shù)從小到大編秩號(hào)，當(dāng)數(shù)值相等時(shí)用平均秩號(hào)，見(jiàn)表10.7各秩號(hào)欄。

　　2．求各防護(hù)服組秩號(hào)之和Ri

　　3．代入式10.9求H值

 （10.9)

　　式中t（treatment)為處理組數(shù)，b(block)為單位組數(shù)。

　　4．查表作結(jié)論

　　當(dāng)t>4或t=4且b>5或t=3且b>9時(shí)，H值的分布近于自由度ν=t-1時(shí)的χ²分布，故可查相應(yīng)的χ²值與H值比較作出判斷：如t、b不能滿足上述條件，則所算得的H值與χ²分布有較大偏離，需查附表15作判斷。

　　例10.7　受試者5人，每人穿四種不同的防護(hù)服時(shí)的脈搏數(shù)如表10.7，問(wèn)四種防護(hù)服對(duì)脈搏的影響有無(wú)顯著差別？又五個(gè)受試者的脈搏數(shù)有無(wú)顯著差別？

表10.7　比較穿四種防護(hù)服時(shí)的脈搏數(shù)（次/分)

　　t=4b=5

　　排隊(duì)、編秩號(hào)、求各比較組的R_i見(jiàn)表10.7所示。

　　將表10.7中各數(shù)代入式10.9，得

　　本例t=4，b=5查附表15，得H_0.05=7.80，今H>H_0.05，故P>0.05，在α=0.05水準(zhǔn)上接受H₀，無(wú)顯著差別，故四種防護(hù)服對(duì)脈搏的影響無(wú)顯著差別。

　　再比較五名受試者的脈搏數(shù)：

　　將數(shù)據(jù)列出（同表10.7)，但秩號(hào)是按每種防護(hù)服中受試者脈搏的數(shù)值從小到大編定，然后求出各受試者秩號(hào)之和R_１，詳細(xì)見(jiàn)表10.8

表10.8　比較五名受試者的脈搏數(shù)

　　t=5b=4

　　將表10.8 所得各數(shù)據(jù)代入式10.9得

　　此處t>4,故查ν=5-1=4時(shí)的χ²值表，得：χ²_0.05,4=9.49，χ²_0.01,4=13.28，今χ²_0.05,42_0.01,4，故0.05>P>0.01，在α=0.05水準(zhǔn)上拒絕H₀，接受H_1，差別顯著；即五名受試者脈搏數(shù)相差顯著，1號(hào)受試者最高，5號(hào)受試者最低。

　　五、多組資料間的兩兩比較

　　當(dāng)多組間的差別顯著時(shí)，則需進(jìn)一步判斷那些組之間的差別有顯著性，這個(gè)問(wèn)題的解決方法與第八章第二節(jié)中的多個(gè)均數(shù)間的兩兩比較很相似，在例10.6四個(gè)實(shí)驗(yàn)組涂放射性錫的例子中，結(jié)果為H>χ²_0.01,3，P<0.01，現(xiàn)以此為例，進(jìn)一步作各組兩兩間比較，步驟如下：

　　1．將各組秩和從大到小依次排隊(duì)，并求得兩兩間的相差，見(jiàn)表10.9

　　2．計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤，計(jì)算公式是：

（10.10)

　　式中σ為任意兩個(gè)秩和之差的標(biāo)準(zhǔn)誤，n為各組例數(shù)，a為處理數(shù)，此式要求各組例數(shù)相等，

　　3．查q值表定界限作結(jié)論

　　仍查方差分析時(shí)用的q值表，v→∝

　　各q值須與處理數(shù)相同的標(biāo)準(zhǔn)誤相乘，如處理數(shù)為2的q值要乘以處理數(shù)為2時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)誤，2.77×6.77=18.75,3.64×6.77=24.64等，余類推。

　　例10.6資料兩兩間比較如下：

表10.9　每?jī)山M秩和之間的相差及其顯著性

　　計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)誤：n=5，用式10.10

　　查q值表，得：

　　兩兩比較后的結(jié)論見(jiàn)表10.9所示，結(jié)合起來(lái)看，結(jié)論是：涂濕藥的比涂干藥肝中放射性Sn¹¹³含量要高，涂濕藥中，密閉的比敞開(kāi)的含量高。