醫(yī)學統(tǒng)計學:第一節(jié)　正態(tài)分布及其性質

一群變量值可能用平均數(shù)描述集中的位置，用變異指標描述離散情況，而頻數(shù)表則把變量值的分布描繪得更具體。為了直觀還可把頻數(shù)表畫成直方圖。如第四章中曾將7歲男童坐高的頻數(shù)分布繪成圖4.1。從圖中可看出數(shù)據(jù)集中均數(shù)周圍，左右基本對稱，離均數(shù)愈近數(shù)據(jù)愈多，離均數(shù)愈遠數(shù)據(jù)愈少的特點。醫(yī)學科研中如健康人的紅細胞數(shù)、血紅蛋白量、血清總膽固醇，同年齡同性別兒童的身高、體重等，雖然數(shù)據(jù)各異，但畫出的直方圖圖形是類似的。可以設想，這種類型的資料，如果調查例數(shù)無限增www.med126.com多，所用組距又無payment-defi.com/shiti/限的小，那么直方頂端就連成了一條光滑的曲線。這條曲線，典型地反映了這類資料的分布情況，數(shù)學上稱為正態(tài)曲線，其方程為

式中n為總頻數(shù)，X為變量值，μ為均數(shù)，σ為標準差，Y為縱高，e=2.71828……，π=3.14158……。在一個總體中n、μ、σ、e、π都是常數(shù)，只有X在變，所以Y=f(x)。

式（5.1)亦可寫成：

由上式可看出曲線的性質：

1．曲線左右對稱。X-μ無論是正或負，只要絕對值就相等，Y值就相等。所以只要X與μ的距離相等，Y就相等。Y值以X=μ為對稱軸。

2．中位數(shù)、均數(shù)、眾數(shù)重合。正態(tài)曲線在橫軸上方。當X=μ時，e⁰=1，Y為極大，所以均數(shù)與眾數(shù)密合。由于曲線左右對稱，所以均數(shù)亦即中位數(shù)。e的指數(shù)愈大，Y愈小，但不會得負值，所以Y>0，曲線在橫軸上方。

3．隨著（X-μ/σ)的絕對值的增加，曲線由平均數(shù)所在點向左右兩方迅速下降。

4．離平均數(shù)左右1σ處為曲線拐點。在μ±σ以內曲線向下彎曲，以外則向上彎曲。

這種類型的資料，數(shù)據(jù)值雖各不相同，但都有其均數(shù)與標準差，如果橫軸上各以其均數(shù)為原點，標準差為單位，并令x=X-μ，那么（X-μ)/σ可寫成x/σ，稱為正態(tài)離差u，

(5.2)

再令總頻數(shù)為1。這時曲線以μ為原點，以σ為單位，稱為標準正態(tài)曲線，其公式為

(5.3)

以μ為均數(shù)，σ²為方差的正態(tài)分布可記為N（μ，σ²)，因此標準正態(tài)分布可記為N（0，1)。

圖5.2　標準正態(tài)曲線