醫(yī)學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué):第一節(jié)　抽樣誤差與標(biāo)準(zhǔn)誤

一、抽樣誤差的意義

在第一章第二節(jié)曾提到過(guò)樣本與總體以及抽樣誤差的概念，那里談到，由于存在人與人之間的個(gè)體差異，即使從同一總體用同樣方法隨機(jī)抽取例數(shù)相同的一些樣本，各樣本算得的某種指標(biāo)，如平均數(shù)（或率)，通常也參差不齊存在一定的差異。樣本指標(biāo)與相應(yīng)的總體指標(biāo)之間有或多或少的相差，這一點(diǎn)是不難理解的。如某醫(yī)生從某地抽了120名12歲男孩，測(cè)量其身高，計(jì)算出均數(shù)為143.10cm，若再?gòu)脑摰爻?20名12歲男孩，其平均身高未必仍等于143.10cm，也不一定恰好等于某市12歲男孩身高的總體均數(shù)，這種差異，即由于抽樣而帶來(lái)的樣本與總體間的誤差，統(tǒng)計(jì)上叫抽樣波動(dòng)或抽樣誤差。

抽樣誤差和系統(tǒng)誤差不一樣，關(guān)系系統(tǒng)誤差，當(dāng)人們一旦發(fā)現(xiàn)它之后，是可能找到產(chǎn)生原因而采取一定措施加以糾正的，抽樣誤差則無(wú)法避免。因?yàn)榭陀^上既然存在個(gè)體差異，那么剛巧這一樣本中多抽到幾例數(shù)值大些的，所求樣本均數(shù)就會(huì)稍大，另一樣本多抽到幾例數(shù)值小些，該樣本均數(shù)就會(huì)稍小，這是不言而喻的。

抽樣誤差既是樣本指標(biāo)與總體指標(biāo)之間的誤差，那么抽樣誤差小就表示從樣本算得的平均數(shù)或率與總體的較接近，有樣本代表總體說(shuō)明其特征的可靠性亦大。但是，通�？傮w均數(shù)或總體率我們并不知道，所以抽樣誤差的數(shù)量大小，不能直觀地加以說(shuō)明，只能通過(guò)抽樣實(shí)驗(yàn)來(lái)了解抽樣誤差的規(guī)律性。

二、標(biāo)準(zhǔn)誤及其計(jì)算

為了表示個(gè)體差異的大小，或者說(shuō)表示某一變量變異程度的大小，可計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差等變異指標(biāo)來(lái)說(shuō)明，現(xiàn)在我們要表示抽樣誤差的大小，如要問(wèn)，從同一總體抽取類似的許多樣本，各樣本均數(shù)（或各率)之間的變異程度如何？也可用變異指標(biāo)來(lái)說(shuō)明。這種指標(biāo)是：

（一)均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤　為了表示均數(shù)的抽樣誤差大小如何，用的一種指標(biāo)稱為均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤。我們以樣本均數(shù)為變量，求出它們的標(biāo)準(zhǔn)差即可表示其變異程度，所以將樣本均數(shù)這“標(biāo)準(zhǔn)差”定名為均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤，簡(jiǎn)稱標(biāo)準(zhǔn)誤，以區(qū)別于通常所說(shuō)的標(biāo)準(zhǔn)差。標(biāo)準(zhǔn)差表示個(gè)體值的散布情形，而標(biāo)準(zhǔn)誤則說(shuō)明樣本均數(shù)的參差情況，兩者不能混淆。下面用抽樣實(shí)驗(yàn)進(jìn)一步說(shuō)明之。

將100名正常人的紅細(xì)胞數(shù)（萬(wàn)/mm³)寫在100顆大小均勻的豌豆上。這些紅細(xì)胞數(shù)見(jiàn)表6.1，其均數(shù)為500，標(biāo)準(zhǔn)差為43。把這些豌豆放在一個(gè)口袋里，徹底混勻后取出一顆，記下紅細(xì)胞數(shù)，放回袋內(nèi)，混勻后再取出一顆，記下數(shù)字后再放回去，如此繼續(xù)下去，這是一個(gè)取不完的總體，這樣每取10個(gè)數(shù)字作為一個(gè)樣本，共抽取了一百個(gè)樣本，并計(jì)算每一樣本的均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差，例見(jiàn)表6.2。

表6.1　紅細(xì)胞數(shù)抽樣實(shí)驗(yàn)用的正態(tài)總體

μ=500 σ=43（單位：萬(wàn)/立方厘米)

表6.2　紅細(xì)胞數(shù)抽樣實(shí)驗(yàn)中的樣本舉例

第一號(hào)樣本均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算：

X＝4.886/10=488.6

將一百個(gè)樣本均數(shù)加總，得到的數(shù)值為50,096.7,又這一百個(gè)樣本均數(shù)平方之和為25,114，830.91，于是代入標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，求得一百個(gè)樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差又稱標(biāo)準(zhǔn)誤為

當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差已知時(shí)，可計(jì)算理論的標(biāo)準(zhǔn)誤σ_χ，公式是

(6.1)

表6.1抽樣實(shí)驗(yàn)用的總體標(biāo)準(zhǔn)差是43，每個(gè)樣本的例數(shù)是10，代入公式得

可見(jiàn)由一百個(gè)樣本均數(shù)求得的標(biāo)準(zhǔn)誤13.50與理論的標(biāo)準(zhǔn)誤13.60比較接近。

在實(shí)際工作中，總體標(biāo)準(zhǔn)差往往并不知道，也不象抽樣實(shí)驗(yàn)?zāi)菢訌耐�一總體隨機(jī)抽取n相等的許多樣本，而是只有手頭一個(gè)樣本。在此情況下，只能以樣本標(biāo)準(zhǔn)差S作為總體標(biāo)準(zhǔn)差σ的估計(jì)值。這樣，公式6.1中的σ就要用S代替，σ_χ改為S_χ，以資區(qū)別。

(6.2)

將第1號(hào)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差及例數(shù)代入式6.2，得

再若將第2號(hào)樣本的數(shù)字代入，S_χ將成為10.74，余類推。由于不同樣本的標(biāo)準(zhǔn)差并不相等，可見(jiàn)S_χ也有抽樣波動(dòng)，這一點(diǎn)是值得注意的，但它仍不失為σ_χ的較好估計(jì)值。

以上介紹了求標(biāo)準(zhǔn)誤的三種方法，其實(shí)我們平常用的只是式6.2，而通過(guò)前兩種方法的對(duì)比則可使我們明瞭標(biāo)準(zhǔn)誤的含義。標(biāo)準(zhǔn)誤是描述樣本均數(shù)變異情況的一個(gè)指標(biāo)，它的大小與總體標(biāo)準(zhǔn)差σ（一般只能用S估計(jì))成正比，而與樣本含量n的平方根payment-defi.com/rencai/成反比，因此若標(biāo)準(zhǔn)差小或樣本含量大時(shí)，求出的標(biāo)準(zhǔn)誤就小（標(biāo)準(zhǔn)誤小表示樣本均數(shù)與總體均數(shù)較接近)，X代表μ較可靠，所以假若手頭資料中觀察值的變異程度較大（S大)時(shí)，為了保

證樣本代表總體比較可靠，就得適當(dāng)增大樣本含量（n)。

（二)率的標(biāo)準(zhǔn)誤　若總體包括某事件的發(fā)生數(shù)與未發(fā)生數(shù)兩類，所化成的比例或成數(shù)即為總體發(fā)生率（符號(hào)π)與未發(fā)生率（１-π)。從總體中隨機(jī)抽取許多樣本(n相等)，算出各個(gè)樣本率（用P表示)，會(huì)是或大或小有波動(dòng)的。為了表示樣本率之間或樣本率與總體率之間的差異程度，當(dāng)總體率π已知時(shí)，可計(jì)算理論的標(biāo)誤σ_p,其公式是

(6.3)

實(shí)際工作中往往不知道總體率π這時(shí)只能以樣本率P作為總體率π的估計(jì)值，求得率的標(biāo)準(zhǔn)誤，并用S_P表示，計(jì)算公式為

(6.4)

現(xiàn)舉例說(shuō)明其求法。

例6.1　某醫(yī)生檢測(cè)了110名成年健康人的尿紫質(zhì)，發(fā)現(xiàn)陽(yáng)性者11人，陰性者99人，于是算得陽(yáng)性率P及率的標(biāo)準(zhǔn)誤S_P如下：

P=11/110×100%=10%�。ㄓ眯�數(shù)表示為0.10)

若要進(jìn)一步增強(qiáng)樣本率估計(jì)總體率的可靠性，可加大樣本含量。

三、樣本均數(shù)的分布

從同一總體里隨機(jī)抽取n相同的許多樣本，這些樣本均數(shù)吳正態(tài)分布。如前面所述正常人紅細(xì)胞數(shù)的抽樣實(shí)驗(yàn)中已求得100個(gè)樣本均數(shù)，其中多數(shù)與總體均數(shù)μ比較接近而集中分布在其周圍，且左右基本對(duì)稱，見(jiàn)表6.3（此表由表6.4中的100個(gè)均數(shù)劃記歸組而得)。

表6.3　紅細(xì)胞抽樣實(shí)驗(yàn)中100個(gè)樣本均數(shù)的分布

表6.4　一百個(gè)樣本的均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、95%可信區(qū)間

已知按正態(tài)分布，理論上有95%的變量值分布在均數(shù)加、減1.96倍標(biāo)準(zhǔn)差（樣本均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差稱標(biāo)準(zhǔn)誤)的范圍內(nèi)，這里也即100個(gè)樣本均數(shù)中有95個(gè)分布在500－1.96(13.60)=473.34至500+1.96(13.60)=526.66的范圍內(nèi)。現(xiàn)看表6.4，在100個(gè)樣本均數(shù)中，第6號(hào)（546.7)、第72號(hào)（465.3)、第97號(hào)(530.1)在上述范圍之外，第42號(hào)(526.4)及第75號(hào)(526.6)就在臨界值附近，其余95個(gè)（若將第42及75號(hào)計(jì)算在內(nèi)則為97個(gè))樣本均數(shù)在此范圍之內(nèi)，將實(shí)際分布與理論分布相對(duì)照見(jiàn)下表6.5。100個(gè)樣本均數(shù)的實(shí)際分布與正態(tài)分布的理論基本符合。