衛(wèi)生學電子教材-第八章 計數(shù)資料的統(tǒng)計方法 :第三節(jié) 計數(shù)資料的x2檢驗

上一節(jié)介紹的計數(shù)資料的u檢驗，只能推斷兩個兩類構(gòu)成總體的某類率或某類構(gòu)成比是否相等。本節(jié)介紹計數(shù)資料的x²檢驗（chi-square test)，是計數(shù)資料的通用假設(shè)檢驗方法，可推斷兩個或多個兩類構(gòu)成總體的某類率或某類構(gòu)成比是否相等；可推斷兩個或多個多類構(gòu)成總體的分類構(gòu)成比是否相同。

x²檢驗要求把樣本的分類個體數(shù)排成行×列表或列聯(lián)表（contingency table)。現(xiàn)以最簡單的2×2表即四格表（fourfold table)來說明x²檢驗的基本思想。

設(shè)要推斷某人群男和女的某種疾病的患病率是否相等，即該病是否和性別有關(guān)。某人群為總體，該人群的每個人為個體。個體有2個研究因素，性別分男和女，某種疾病分有和無。從總體抽取樣本，把樣本的分類個體數(shù)a、b、c、d排成四格表，如表8－7，其2行合計為n₁.和n₂.，2列合計為n.₁；和n.₂，總合計為n。 

從該人群總體中隨機抽樣構(gòu)成四格表資料有3種抽樣方法：①從該總體抽取含量為n的一個樣本，按性別的男和女及疾病的有和無的組合清點個體數(shù)；②把該總體分成男和女兩個總體，分別抽取含量為n₁.和n₂.的兩個樣本，按疾病的有和無清點個體數(shù)；③把該總體分成有病和無病兩個總體，分別抽取含量為n.₁和n.₂的兩個樣本，按性別的男和女清點個體數(shù)。①和②都是由男和女的樣本患病率來推斷男和女的總體患病率是否相等。③是由有病和無病的樣本男性（或女性)構(gòu)成比來推斷有病和無病的總體男性構(gòu)成比是否相等，若相等就可間接推斷男和女的總體患病率相等；若不等就可間接推斷男和女的總體患病率不等。

3種抽樣方法計算樣本檢驗統(tǒng)計量x²值的公式相同，現(xiàn)以第1種和第2種抽樣方法說明之。 a、b、c、d為四格表的實際頻數(shù)（actual frequency)，用A₁₁、A₁₂、A₂₁、A₂₂表示。檢驗假設(shè)是男和女的總體患病率相等，即π₁=π₂=π。如果檢驗假設(shè)成立，則四格表的合計率n.₁/n應(yīng)是π的最佳估計值，用這個估計值和2個行合計算出四格表的理論頻數(shù)（theoretical frequency)，T₂₁=n₂.n.₁/n，T₁₂=n₁.n.₂/n，同理可得T₁₂=n₁.n.₂/n，T₂₂=n₂.n.₂/n。把行合計記為n_R，列合計記為n_C，則求行×列表的R行C列的理論頻數(shù)T_RC的公式為

求行×列表樣本檢驗統(tǒng)計量x²值的基本公式為

∑表示對行×列表的所有格子求和，如行數(shù)用R表示，列數(shù)用C表示，則共有R×C格。x²分布只有1個參數(shù)——自由度ν，對于行×列表為ν=（R-1)（C-1)（8·19)行×列表的自由度可以這樣理解：在R個行合計數(shù)和C個列合計數(shù)固定的情況下，R×C個格子可自由取值的格子數(shù)。如四格表的自由度ν=（2-1)（2-1)=1，即4個格子只有1個格子可自由取值，其他3個格子取值可用行合計數(shù)或列合計數(shù)用減法求得。因此行×列表只需用（8·17)式求ν個理論頻數(shù)，其余的理論頻數(shù)可用行合計數(shù)或列合計數(shù)用減法求得。行×列表x²值反映R×C個格子的實際頻數(shù)和理論頻數(shù)的差別程度，如果檢驗假設(shè)成立，則x²值越大，它由抽樣誤差造成的P值越

常、可疑和冠心病三者的眼底動脈硬化的分級構(gòu)成比不同或不全相同)。

四格表資料有一般四格表資料和配對四格表資料，用于推斷兩個總體率（或總體構(gòu)成比)是否相等的假設(shè)檢驗。一般四格表資料的x²檢驗和上一節(jié)介紹的推斷兩個總體率是否相等的u檢驗等價。配對四格表資料的x²檢驗相對于一般四格表資料的x²檢驗，可提高兩個總體率差別的假設(shè)檢驗的檢驗效能，或可減少樣本含量。

 1.四格表資料的x²檢驗 四格表資料如表8－7。當每格的理論頻數(shù)T≥5時，計算x²值既可用基本公式（8·18)；也可用由基本公式推導出的下述四格表的專用公式，它省出求理論頻數(shù)的麻煩，簡化運算。

當四格表資料的總合計數(shù)n≥40而有理論頻數(shù)1≤T＜5時，需用下述校正公式：

注意的是：當四格表資料的n＜40而有一格的理論頻數(shù) T＜5時，或有一格的理論頻數(shù)T＜1時，則用上述校正公式也不行，需查專門醫(yī)學統(tǒng)計書所介紹的假設(shè)檢驗方法。

例8·7問例8·6中某山區(qū)小學男生和女生的肺吸蟲感染率有無差別（用x²檢驗)？其四格表資料如表8－9，計算出兩個樣本率是便于觀察比較。 

設(shè)該山區(qū)小學男生總體的肺吸蟲感染率為π₁，女生總體的肺吸蟲感染率為π₂，假設(shè)為：

H₀：π₁=π₂

H₁：π₁≠π₂

α=0.05

若用基本公式（8·18)求x²值，需先用公式（8·17)求各格的理論頻數(shù)：80×36/165=17.45，80-17.45=62.55，36-17.45=18.55，85-18.55=66.45。于是

若用四格表專用公式（8·20)求x²值，則有

兩者x²值應(yīng)相同，如有微小差別是由于計算過程中尾數(shù)的舍入誤差。

查x²界值表得P＜0.05。按α=0.05水準拒絕H₀，接受H11，認為該山區(qū)小學男生和女生的肺吸蟲感染率有差別，男生高于女生。

例8·8某醫(yī)師用甲、乙兩療法治療小兒單純消化不良，治療結(jié)果如表8－10，問兩種療法的治愈率是否相等？

設(shè)對小兒單純性消化不良的總體治愈率甲療法為π₁，乙療法為π₂，假設(shè)為：

H₀：π₁=π₂

H₁：π₁≠π₂

α=0.05

最小的理論頻數(shù)為T₁₂=33×9/71=4.18，需用校正公式。據(jù)（8·22)式有

查x²界值表得P＞0.05。按α=0.05水準不拒絕H₀，尚不能認為甲、乙兩療法對小兒單純性消化不良的治愈率不等。

2.配對四格表資料的x²檢驗 和上一章第三節(jié)中介紹的計量資料的配對一樣，配對設(shè)計有同源配對和異源配對。只是計量資料的配對其結(jié)果是數(shù)值變量；而計數(shù)資料的配對其結(jié)果是分類變量。

配對四格www.med126.com表的樣本資料如表8－11。四個格子內(nèi)的個體數(shù)（同源配對)或?qū)ψ訑?shù)（異 

源配對)a、b、c、d，可分作兩種方法（如甲法和乙法)結(jié)果相同的個體數(shù)或?qū)ψ訑?shù)a和d；結(jié)果不同的個體數(shù)或?qū)ψ訑?shù)b和c。用b和c的差別來推斷兩個總體率（如甲法和乙法兩個總體的陽性率)是否相等。當n≥40時，計算x²值的公式為

若n＜40，需用下述校正公式：

例8·9有28份咽喉涂抹標本，把每份標本分別接種在甲、乙兩種白喉桿菌培養(yǎng)基上，觀察兩種白喉桿菌生長情況，結(jié)果如表8－12。問兩種白喉桿菌培養(yǎng)基的效果有無差別？設(shè)甲、乙兩種白喉桿菌培養(yǎng)基的培養(yǎng)結(jié)果的總體陽性率分別為π₁和π₂，假設(shè)為：

H₀：π₁=π₂

H₁：π₁≠π₂

α=0.05

ν=1

查x²界值表得P＜0.05。按α=0.05水準拒絕H₀，接受H11，認為甲、乙兩種白喉桿菌培養(yǎng)基的效果有差別，甲培養(yǎng)基的陽性率高于乙培養(yǎng)基的陽性率。

  現(xiàn)在介紹一般的行×列表資料的x²檢驗。它當然也適用于四格表資料，但通常是指行數(shù)或列數(shù)大于2的行×列表資料，可用于推斷多個兩類構(gòu)成總體的某類率或某類構(gòu)成比是否相等；可用于推斷兩個或多個多類構(gòu)成總體的分類構(gòu)成比是否相同。

行×列表資料的x²檢驗可用基本公式（8·18)；但一般用由基本公式推導出的下述簡捷公式，它省去求理論頻數(shù)的麻煩，簡化運算。

式中n為總合計數(shù)，A為每個格子的實際頻數(shù)，n_R和n_C分別為與A同行和同列的合計數(shù)。

注意的是：行×列表資料用x²檢驗，當有1/5及以上格子的理論頻數(shù)T＜5，或有一個格子T＜1時，應(yīng)該與相鄰組合并以增加理論頻數(shù)，達到1/5格子以下T＜5。應(yīng)注意合并組的合理性，如年齡分組可以并組；但按性質(zhì)分組（如血型的O型、A型、B型和AB型)便不能并組，只有增加樣本含量。

還要注意的是：推斷多個總體率（或總體構(gòu)成比)是否相等的x²檢驗，結(jié)論為拒絕H₀、接受H₁時，是認為各總體率不等或不全相等，其含意為不能確定其中任意兩個總體率都不等，只能說其中至少有兩個總體率不等。

例8·10某市重污染區(qū)、一般市區(qū)和農(nóng)村的出生嬰兒的致畸情況如表8－13。問3個地區(qū)的出生嬰兒的致畸率有無差別？

設(shè)該市重污染區(qū)、一般市區(qū)和農(nóng)村的出生嬰兒總體的致畸率分別為π₁、π₂和π₃，假設(shè)為：

H₀：π₁=π₂=π₃

H₁：π₁、π₂和π₃不等或不全相等

α=0.05

據(jù)（8·25)式有

查x²界值表得P＜0.01。按α=0.05水準拒絕H₀，接受H₁，認為該市重污染區(qū)、一般市區(qū)和農(nóng)村出生嬰兒的致畸率有差別。

例8·11據(jù)表8－14資料，問我國南、北方鼻咽癌患者（按籍貫分)的病理組織學分類的構(gòu)成比是否相同？ 

假設(shè)為：

H₀：南、北方鼻咽癌患者總體的病理組織學分類的構(gòu)成比相同

H₁：南、北方鼻咽癌患者總體的病理組織學分類的構(gòu)成比不同

α=0.05據(jù)（8·25)式有

查x²界值表得P＜0.05。按α=0.05水準拒絕H₀，接受H₁，認為我國南、北方鼻咽癌患者的病理組織學分類的構(gòu)成比不同。

例8·12 某工廠在冠心病調(diào)查中研究冠心病與眼底動脈硬化的關(guān)系，共調(diào)查588人，資料如表8－15。問冠心病與眼底動脈硬化有無關(guān)系？

假設(shè)為：

H₀：總體冠心病與眼底動脈硬化無關(guān)

H₁：總體冠心病與眼底動脈硬化有關(guān)

α=0.05

據(jù)（8·25)式有

查x²界值表得P＜0.01。按α=0.05水準拒絕H₀，接受H₁，認為冠心病與眼底動脈硬化有關(guān)（即正填寫內(nèi)容